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題名 | Rules for Negation in Natural Deduction Systems=自然演繹系統中否定之推衍規則 |
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作 者 | 楊金穆; | 書刊名 | 國立臺灣大學哲學論評 |
卷期 | 19 1996.01[民85.01] |
頁次 | 頁197-222 |
分類號 | 151 |
關鍵詞 | 自然演繹系統; 否定記號; 推衍規則; Natural Deduction Systems; |
語文 | 英文(English) |
中文摘要 | 自然演繹系統(natural deduction systems),依其創始者G. Gentzen之立意,係指僅只由一組設定之推衍規則(rules of inference)所構成的邏輯系統。而在此類系統中,一個推衍之建構(the construction of a derivation)係由某些特定的假設出發,利用適當的推衍規則逐步推論出所要的結論。由於此類系統不預設任何設基(axims),因而得以避免有關設基是否為真的哲學爭論。復次,系統中每一規則的訂定,概皆依循相對應之邏輯連詞(connectives)之真值表,如此一來,推衍的運作可以「自然地」按照吾人對於相對應之連詞之(真值表)理解而進行。例如,若由假設P成立,可推知Q亦成立,吾人可斷言P→Q成立。此一推衍顯示結論中的「→」並沒有出現在前提(指P與Q)中,因此,欲由前提得知P→Q,吾人需建立一規則可資引進(introduce)「→」記號。職是吾人可設一「引進」→規則(introduction rule for→)來進行上述推衍。相對地,假設(P→Q)成立而且P成立,吾人可推衍出Q成立,此一推衍顯示在提出現的→記號已不復出現在結論中。因此,吾人可設定一「消去」→規則(Elimination rule for→)來進行上述推衍。整個自然演繹法的建立即在於將此一基本方法應用至所有之連詞。若然對應於每一連詞都有一組「消去規則」與「引進規則」,吾人得以「自然地」進行任何語句的推衍。由於上述優點,自然演繹系統已成為一般認為最優雅的表現方式。 然則,本文將指出,在一個滿足的自然演繹系統中,對於每一個連詞而言,都應有一組自然的「消去規則」與「引進規則」。而且,更重要的,此一組規則必須是局部完備的(Local-complete)。所謂一組規則是局部完備的,係指所有的中效的句式(Valid Sequents),若其只含此一組規則所關連之連詞。則此一句式可只藉由此一組規則推衍而得。很明顯地,在一般常見的自然演繹系統中,對應對「 」與「 」的一組規則,如Van Dalen d{( I),( E)}與{( I),( E)},即各具備此一條件。更且,所有中效的句式若其連詞只包含 與 ,則此的句式可利用此兩組規則推衍而得。因此,若針對每一連詞,都有一組完備的規則,則整個系統自然是完備的。「 就命題邏輯而言,吾人已知{﹁, }或{﹁, }是一組完整的連詞,意謂任一命題皆可利用一只包括﹁與 的語式(formula)來表現。因此,若對於﹁而言,吾人亦可建立一組完備且自然的規則,則此一規則加上對於﹁而言,另一組對於{﹁ }或者{﹁ }的規則都可組合成一個完備且自然的演繹系統。 然而,本文將討論並指出,目前所常見的否定記號之推衍規則,有些雖是完備的但不夠自然,有些雖是自然的,但本身並非完備,此一觀察顯示出自然演繹系統並非如一般所認為的優雅。就其「自然性」而言,似乎比樹枝法(tableau system)要略遜一籌。就規則組之局部完備性而,言顯然又不如Sequent Calculi。 |
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